ITP001 Axioms: ITP123^7.ax


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% File     : ITP123^7 : TPTP v9.0.0. Bugfixed v7.5.0.
% Domain   : Interactive Theorem Proving
% Axioms   : HOL4 syntactic export, chainy mode
% Version  : [BG+19] axioms.
% English  :

% Refs     : [BG+19] Brown et al. (2019), GRUNGE: A Grand Unified ATP Chall
%          : [Gau19] Gauthier (2019), Email to Geoff Sutcliffe
% Source   : [BG+19]
% Names    : frac.ax [Gau19]
%          : HL4123^7.ax [TPAP]

% Status   : Satisfiable
% Syntax   : Number of formulae    :  123 (  48 unt;  49 typ;   0 def)
%            Number of atoms       :  134 (  84 equ;  13 cnn)
%            Maximal formula atoms :    8 (   1 avg)
%            Number of connectives :  783 (  13   ~;   6   |;   7   &; 713   @)
%                                         (  15 <=>;  29  =>;   0  <=;   0 <~>)
%            Maximal formula depth :   10 (   5 avg; 713 nst)
%            Number of types       :    5 (   4 usr)
%            Number of type conns  :   70 (  70   >;   0   *;   0   +;   0  <<)
%            Number of symbols     :   47 (  45 usr;   5 con; 0-4 aty)
%            Number of variables   :  154 (   3   ^ 134   !;   2   ?; 154   :)
%                                         (  15  !>;   0  ?*;   0  @-;   0  @+)
% SPC      : TH1_SAT_EQU_NAR

% Comments :
% Bugfixes : v7.5.0 - Fixes to the axioms.
%------------------------------------------------------------------------------
thf(tyop_2Efrac_2Efrac,type,
    tyop_2Efrac_2Efrac: $tType ).

thf(tyop_2Einteger_2Eint,type,
    tyop_2Einteger_2Eint: $tType ).

thf(tyop_2Emin_2Ebool,type,
    tyop_2Emin_2Ebool: $tType ).

thf(tyop_2Emin_2Efun,type,
    tyop_2Emin_2Efun: $tType > $tType > $tType ).

thf(tyop_2Enum_2Enum,type,
    tyop_2Enum_2Enum: $tType ).

thf(tyop_2Epair_2Eprod,type,
    tyop_2Epair_2Eprod: $tType > $tType > $tType ).

thf(c_2Ebool_2E_21,type,
    c_2Ebool_2E_21: 
      !>[A_27a: $tType] : ( ( A_27a > $o ) > $o ) ).

thf(c_2Earithmetic_2E_2A,type,
    c_2Earithmetic_2E_2A: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).

thf(c_2Earithmetic_2E_2B,type,
    c_2Earithmetic_2E_2B: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).

thf(c_2Epair_2E_2C,type,
    c_2Epair_2E_2C: 
      !>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( A_27a > A_27b > ( tyop_2Epair_2Eprod @ A_27a @ A_27b ) ) ).

thf(c_2Ebool_2E_2F_5C,type,
    c_2Ebool_2E_2F_5C: $o > $o > $o ).

thf(c_2Enum_2E0,type,
    c_2Enum_2E0: tyop_2Enum_2Enum ).

thf(c_2Emin_2E_3D,type,
    c_2Emin_2E_3D: 
      !>[A_27a: $tType] : ( A_27a > A_27a > $o ) ).

thf(c_2Emin_2E_3D_3D_3E,type,
    c_2Emin_2E_3D_3D_3E: $o > $o > $o ).

thf(c_2Ebool_2E_3F,type,
    c_2Ebool_2E_3F: 
      !>[A_27a: $tType] : ( ( A_27a > $o ) > $o ) ).

thf(c_2Einteger_2EABS,type,
    c_2Einteger_2EABS: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Earithmetic_2EBIT1,type,
    c_2Earithmetic_2EBIT1: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).

thf(c_2Epair_2EFST,type,
    c_2Epair_2EFST: 
      !>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( tyop_2Epair_2Eprod @ A_27a @ A_27b ) > A_27a ) ).

thf(c_2Earithmetic_2ENUMERAL,type,
    c_2Earithmetic_2ENUMERAL: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).

thf(c_2Einteger_2ENum,type,
    c_2Einteger_2ENum: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Enum_2Enum ).

thf(c_2Ebool_2EONE__ONE,type,
    c_2Ebool_2EONE__ONE: 
      !>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( A_27a > A_27b ) > $o ) ).

thf(c_2Ebool_2EONTO,type,
    c_2Ebool_2EONTO: 
      !>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( A_27a > A_27b ) > $o ) ).

thf(c_2EintExtension_2ESGN,type,
    c_2EintExtension_2ESGN: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Epair_2ESND,type,
    c_2Epair_2ESND: 
      !>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( tyop_2Epair_2Eprod @ A_27a @ A_27b ) > A_27b ) ).

thf(c_2Ebool_2ETYPE__DEFINITION,type,
    c_2Ebool_2ETYPE__DEFINITION: 
      !>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( A_27a > $o ) > ( A_27b > A_27a ) > $o ) ).

thf(c_2Earithmetic_2EZERO,type,
    c_2Earithmetic_2EZERO: tyop_2Enum_2Enum ).

thf(c_2Ebool_2E_5C_2F,type,
    c_2Ebool_2E_5C_2F: $o > $o > $o ).

thf(c_2Efrac_2Eabs__frac,type,
    c_2Efrac_2Eabs__frac: ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint ) > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__0,type,
    c_2Efrac_2Efrac__0: tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__1,type,
    c_2Efrac_2Efrac__1: tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__add,type,
    c_2Efrac_2Efrac__add: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__ainv,type,
    c_2Efrac_2Efrac__ainv: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__div,type,
    c_2Efrac_2Efrac__div: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__dnm,type,
    c_2Efrac_2Efrac__dnm: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__minv,type,
    c_2Efrac_2Efrac__minv: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__mul,type,
    c_2Efrac_2Efrac__mul: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__nmr,type,
    c_2Efrac_2Efrac__nmr: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__save,type,
    c_2Efrac_2Efrac__save: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__sgn,type,
    c_2Efrac_2Efrac__sgn: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Efrac_2Efrac__sub,type,
    c_2Efrac_2Efrac__sub: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).

thf(c_2Einteger_2Eint__add,type,
    c_2Einteger_2Eint__add: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Einteger_2Eint__lt,type,
    c_2Einteger_2Eint__lt: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > $o ).

thf(c_2Einteger_2Eint__mul,type,
    c_2Einteger_2Eint__mul: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Einteger_2Eint__neg,type,
    c_2Einteger_2Eint__neg: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Einteger_2Eint__of__num,type,
    c_2Einteger_2Eint__of__num: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Einteger_2Eint__sub,type,
    c_2Einteger_2Eint__sub: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).

thf(c_2Efrac_2Eles__abs,type,
    c_2Efrac_2Eles__abs: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > $o ).

thf(c_2Efrac_2Erep__frac,type,
    c_2Efrac_2Erep__frac: tyop_2Efrac_2Efrac > ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint ) ).

thf(c_2Ebool_2E_7E,type,
    c_2Ebool_2E_7E: $o > $o ).

thf(logicdef_2E_2F_5C,axiom,
    ! [V0: $o,V1: $o] :
      ( ( c_2Ebool_2E_2F_5C @ V0 @ V1 )
    <=> ( V0
        & V1 ) ) ).

thf(logicdef_2E_5C_2F,axiom,
    ! [V0: $o,V1: $o] :
      ( ( c_2Ebool_2E_5C_2F @ V0 @ V1 )
    <=> ( V0
        | V1 ) ) ).

thf(logicdef_2E_7E,axiom,
    ! [V0: $o] :
      ( ( c_2Ebool_2E_7E @ V0 )
    <=> ( (~) @ V0 ) ) ).

thf(logicdef_2E_3D_3D_3E,axiom,
    ! [V0: $o,V1: $o] :
      ( ( c_2Emin_2E_3D_3D_3E @ V0 @ V1 )
    <=> ( V0
       => V1 ) ) ).

thf(logicdef_2E_3D,axiom,
    ! [A_27a: $tType,V0: A_27a,V1: A_27a] :
      ( ( c_2Emin_2E_3D @ A_27a @ V0 @ V1 )
    <=> ( V0 = V1 ) ) ).

thf(quantdef_2E_21,axiom,
    ! [A_27a: $tType,V0f: A_27a > $o] :
      ( ( c_2Ebool_2E_21 @ A_27a @ V0f )
    <=> ! [V1x: A_27a] : ( V0f @ V1x ) ) ).

thf(quantdef_2E_3F,axiom,
    ! [A_27a: $tType,V0f: A_27a > $o] :
      ( ( c_2Ebool_2E_3F @ A_27a @ V0f )
    <=> ? [V1x: A_27a] : ( V0f @ V1x ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__TY__DEF,axiom,
    ? [V0rep: tyop_2Efrac_2Efrac > ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint )] :
      ( c_2Ebool_2ETYPE__DEFINITION @ ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint ) @ tyop_2Efrac_2Efrac
      @ ^ [V1f: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V1f ) )
      @ V0rep ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__tybij,axiom,
    ( ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
        ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0a ) )
        = V0a )
    & ! [V1r: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] :
        ( ( ^ [V2f: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2f ) )
          @ V1r )
      <=> ( ( c_2Efrac_2Erep__frac @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ V1r ) )
          = V1r ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__nmr__def,axiom,
    ! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f )
      = ( c_2Epair_2EFST @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0f ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__dnm__def,axiom,
    ! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f )
      = ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0f ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__sgn__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
      = ( c_2EintExtension_2ESGN @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__ainv__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 )
      = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__minv__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ V0f1 )
      = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) @ ( c_2Einteger_2EABS @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__0__def,axiom,
    ( c_2Efrac_2Efrac__0
    = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__1__def,axiom,
    ( c_2Efrac_2Efrac__1
    = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Eles__abs__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Eles__abs @ V0f1 @ V1f2 )
      = ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__add__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0f1 @ V1f2 )
      = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__sub__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0f1 @ V1f2 )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0f1 @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V1f2 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__mul__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 )
      = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__div__def,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__div @ V0f1 @ V1f2 )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ V1f2 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__save__def,axiom,
    ! [V0nmr: tyop_2Einteger_2Eint,V1dnm: tyop_2Enum_2Enum] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0nmr @ V1dnm )
      = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0nmr @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1dnm ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2Efrac__bij,axiom,
    ( ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
        ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0a ) )
        = V0a )
    & ! [V1r: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] :
        ( ( ^ [V2f: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2f ) )
          @ V1r )
      <=> ( ( c_2Efrac_2Erep__frac @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ V1r ) )
          = V1r ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC,axiom,
    ! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f ) ) )
      = V0f ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__EQ,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
       => ( ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) )
            = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
        <=> ( ( V0a1 = V2a2 )
            & ( V1b1 = V3b2 ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__EQ__ALT,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( V0f1 = V1f2 )
    <=> ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 )
          = ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) )
        & ( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 )
          = ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__NOT__EQ,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
       => ( ( (~)
            @ ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) )
              = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) ) )
        <=> ( ( (~) @ ( V0a1 = V2a2 ) )
            | ( (~) @ ( V1b1 = V3b2 ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__NOT__EQ__IMP,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
       => ( ( (~)
            @ ( ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 )
              = ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
         => ( (~)
            @ ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) )
              = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__DNMPOS,axiom,
    ! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2ENMR,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Einteger_2Eint,V1b: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b )
     => ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a @ V1b ) ) )
        = V0a ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EDNM,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Einteger_2Eint,V1b: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b )
     => ( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a @ V1b ) ) )
        = V1b ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__CALCULATE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) )
        = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__neg @ V0a1 ) @ V1b1 ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MINV__CALCULATE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( (~)
          @ ( V0a1
            = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
       => ( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) )
          = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2EintExtension_2ESGN @ V0a1 ) @ V1b1 ) @ ( c_2Einteger_2EABS @ V0a1 ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__CALCULATE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) )
        = ( c_2EintExtension_2ESGN @ V0a1 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__CALCULATE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
       => ( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
          = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V3b2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V2a2 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SUB__CALCULATE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
       => ( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
          = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__sub @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V3b2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V2a2 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MULT__CALCULATE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
       => ( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
          = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V2a2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__DIV__CALCULATE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
     => ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
       => ( ( (~)
            @ ( V2a2
              = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
         => ( ( c_2Efrac_2Efrac__div @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
            = ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ ( c_2EintExtension_2ESGN @ V2a2 ) ) @ V3b2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ ( c_2Einteger_2EABS @ V2a2 ) ) ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__ASSOC,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V1b @ V2c ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__ASSOC,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V1b @ V2c ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__COMM,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ V1b )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V1b @ V0a ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__COMM,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ V1b )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V1b @ V0a ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__RID,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ c_2Efrac_2Efrac__0 )
      = V0a ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__RID,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ c_2Efrac_2Efrac__1 )
      = V0a ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__1__0,axiom,
    (~) @ ( c_2Efrac_2Efrac__1 = c_2Efrac_2Efrac__0 ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__0,axiom,
    ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ c_2Efrac_2Efrac__0 )
    = c_2Efrac_2Efrac__0 ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__AINV,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) )
      = V0f1 ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__ADD,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0f1 @ V1f2 ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V1f2 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__SUB,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V1f2 @ V0f1 ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0f1 @ V1f2 ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__RMUL,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V1f2 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__LMUL,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) @ V1f2 ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MINV__1,axiom,
    ( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ c_2Efrac_2Efrac__1 )
    = c_2Efrac_2Efrac__1 ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SUB__ADD,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V1b @ V2c ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SUB__SUB,axiom,
    ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V1b @ V2c ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__TOTAL,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
        = ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) )
      | ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
        = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) )
      | ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
        = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__POS,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
        = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) )
    <=> ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__NOT__NEG,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( (~)
        @ ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
          = ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) )
    <=> ( ( ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 )
          = ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) )
        | ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__NEG,axiom,
    ! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f ) ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__IMP__EQGT,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( (~)
        @ ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
          = ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) )
    <=> ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
          = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) )
        | ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
          = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__MUL,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
      = ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V1f2 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ABS__SGN,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( (~)
        @ ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 )
          = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
     => ( ( c_2Einteger_2EABS @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) )
        = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__MUL2,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
      = ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V1f2 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__CASES,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1P: $o] :
      ( ( ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
            = ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) )
         => V1P )
        & ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
            = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) )
         => V1P )
        & ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
            = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) )
         => V1P ) )
     => V1P ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__AINV,axiom,
    ! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
      ( ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__ONEONE,axiom,
    c_2Ebool_2EONE__ONE @ tyop_2Efrac_2Efrac @ tyop_2Efrac_2Efrac @ c_2Efrac_2Efrac__ainv ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__ONTO,axiom,
    c_2Ebool_2EONTO @ tyop_2Efrac_2Efrac @ tyop_2Efrac_2Efrac @ c_2Efrac_2Efrac__ainv ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__NMR__SAVE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
      = V0a1 ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__DNM__SAVE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
      = ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1b1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__0__SAVE,axiom,
    ( c_2Efrac_2Efrac__0
    = ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ c_2Enum_2E0 ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__1__SAVE,axiom,
    ( c_2Efrac_2Efrac__1
    = ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) @ c_2Enum_2E0 ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__SAVE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__neg @ V0a1 ) @ V1b1 ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MINV__SAVE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
      ( ( (~)
        @ ( V0a1
          = ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
     => ( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
        = ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2EintExtension_2ESGN @ V0a1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1b1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) @ ( c_2Einteger_2ENum @ ( c_2Einteger_2Eint__sub @ ( c_2Einteger_2EABS @ V0a1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__SAVE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Enum_2Enum] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V2a2 @ V3b2 ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V3b2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V2a2 @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1b1 ) ) ) @ V0a1 ) @ V2a2 ) @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2A @ V1b1 @ V3b2 ) @ V1b1 ) @ V3b2 ) ) ) ).

thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__SAVE,axiom,
    ! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Enum_2Enum] :
      ( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V2a2 @ V3b2 ) )
      = ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V2a2 ) @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2A @ V1b1 @ V3b2 ) @ V1b1 ) @ V3b2 ) ) ) ).

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